Matematik

Flytninger og symmetri

Spejl, skub og drej. En figur kan flyttes rundt i koordinatsystemet uden at ændre form, og her lærer du reglerne for, hvad der sker med koordinaterne.

Hvad er en flytning?

Tag et stykke papir med en trekant på. Du kan skubbe det hen ad bordet, dreje det, eller vende det om (spejle det). Trekanten er stadig den samme trekant, den ligger bare et andet sted. Det kalder man en flytning.

Der er tre slags flytninger, du skal kende:

Spejling i en linje (som i et spejl)
Parallelforskydning (et skub: alle punkter flyttes lige langt i samme retning)
Drejning om et punkt (som en viser på et ur)

Figuren, man starter med, kaldes originalen. Figuren efter flytningen kaldes billedet. Punktet A bliver til billedpunktet A′ (udtales "A mærke").

Den gyldne regel:
En flytning ændrer ikke figurens form og størrelse. Den ændrer kun, hvor figuren ligger. Sidelængder og vinkler er de samme før og efter.

Spejling i x-aksen og y-aksen

Når du spejler et punkt i en linje, ligger billedpunktet lige så langt fra linjen som originalen, bare på den anden side. Og i koordinatsystemet er det let at regne ud:

Spejling i x-aksen (den vandrette): y skifter fortegn(x, y) → (x, −y) Spejling i y-aksen (den lodrette): x skifter fortegn(x, y) → (−x, y)

Punktet (3, 2) bliver altså til (3, −2) ved spejling i x-aksen, og til (−3, 2) ved spejling i y-aksen. Huskeråd: spejler du i x-aksen, er det y, der skifter. Spejler du i y-aksen, er det x, der skifter. Det er altså det modsatte bogstav, der ændrer sig.

Spejling i en anden lodret eller vandret linje

Linjen behøver ikke være en akse. Spejles der i den lodrette linje x = 1, så tæller du, hvor langt punktet er fra linjen, og går lige så langt om på den anden side:

Punktet (4, 2) er 3 til højre for linjen x = 1:4 − 1 = 3 Gå 3 til venstre for linjen:1 − 3 = −2, så A′ = (−2, 2)

y ændrer sig ikke, for linjen er lodret. Spejles der i en vandret linje (fx y = 2), er det x, der bliver stående, og y, der bliver flyttet lige så langt om på den anden side.

Parallelforskydning: et skub

Ved en parallelforskydning flyttes alle punkter det samme stykke i den samme retning. Man beskriver skubbet med to tal: a til højre og b op. Det kaldes en vektor og skrives (a, b).

Reglen: læg a til x og b til y(x, y) → (x + a, y + b) Punktet (−3, 2) forskudt med (4, −3):(−3 + 4, 2 − 3) = (1, −1)

Negativt a betyder til venstre, negativt b betyder ned. Hele trekanten flyttes 4 til højre og 3 ned, og den vender stadig samme vej.

Drejning om origo

En drejning har et centrum (her origo) og en vinkel. Drejer du 180°, vender punktet om på den stik modsatte side af origo. Drejer du 90°, er det et kvart omgang. "Mod uret" er den positive retning i matematik.

180°: begge koordinater skifter fortegn(x, y) → (−x, −y) 90° mod uret: byt om, og sæt minus på det nye x(x, y) → (−y, x) 90° med uret: byt om, og sæt minus på det nye y(x, y) → (y, −x)

Punktet (3, 1) bliver til (−3, −1) ved 180°, og til (−1, 3) ved 90° mod uret. Tjek på tegningen: afstanden til origo er den samme hele vejen rundt.

Symmetriakser

En figur har en symmetriakse, hvis du kan folde den langs en linje, så de to halvdele dækker hinanden præcist. Nogle figurer har mange, nogle har én, og nogle har slet ingen.

Kvadrat: 4 (to gennem midten af siderne, to gennem hjørnerne)
Rektangel: 2 (kun gennem midten af siderne, ikke diagonalerne)
Ligesidet trekant: 3, ligebenet trekant: 1, regulær femkant: 5
Parallelogram: 0. Det snyder mange! Prøv at folde det, så passer halvdelene ikke.
Cirkel: uendeligt mange, for enhver linje gennem centrum er en symmetriakse.

Bogstaver har også symmetriakser: H har 2, A har 1 (den lodrette), F har 0.

Kongruente figurer

To figurer er kongruente, hvis de har samme form og samme størrelse. Det betyder, at den ene kan flyttes (spejles, skubbes, drejes) hen over den anden, så de dækker hinanden helt.

Et spejlbillede er altså kongruent med originalen, selv om det "vender forkert". Men en figur, der er gjort større (fx dobbelt så stor), er ikke kongruent: den har samme form, men ikke samme størrelse. Det kaldes i stedet ligedannet.

Huskeliste

Spejling i x-aksen: (x, y) → (x, −y). I y-aksen: (x, y) → (−x, y).
Spejling i en linje: lige langt fra linjen, på den anden side.
Parallelforskydning med (a, b): (x, y) → (x + a, y + b).
Drejning 180°: (x, y) → (−x, −y). 90° mod uret: (x, y) → (−y, x).
Symmetriakser: kvadrat 4, rektangel 2, ligesidet trekant 3, ligebenet trekant 1, parallelogram 0.
Kongruent: samme form og størrelse. En flytning giver altid en kongruent figur.