ØverumMatematik
Matematik

Koordinatsystemet

Et kort over tal. Her lærer du at finde punkter, aflæse linjer og forstå y = ax + b.

To akser og et nulpunkt

Et koordinatsystem er to tallinjer, der krydser hinanden. Den vandrette hedder x-aksen, den lodrette hedder y-aksen. Der hvor de krydser, hedder origo, og der er både x og y lig med 0.

Et punkt skrives som (x, y). Punktet (3, 2) finder du ved at gå 3 til højre og 2 op. Husk rækkefølgen: x først, så y. Et godt huskeråd: man går hen ad gangen, før man går op ad trappen.

Negative tal

Til venstre for origo er x negativ. Under origo er y negativ. Punktet (−2, −3) ligger altså 2 til venstre og 3 ned.

Koordinatsystemet er delt i fire felter, der hedder kvadranter. Man tæller dem mod uret og starter øverst til højre, hvor både x og y er positive.

Den gyldne regel:
(x, y): x er hvor langt du går til siden (højre er plus), y er hvor langt du går op eller ned (op er plus). Start altid i origo.

En lige linje: y = ax + b

Mange punkter kan ligge på en lige linje. Linjen har en "opskrift", der fortæller, hvad y er for ethvert x. Opskriften hedder en ligning og ser sådan her ud:

y = ax + b

  • b er der, hvor linjen skærer y-aksen. Sæt x = 0, så er y = b.
  • a er hældningen: hvor meget linjen går op, hver gang du går 1 til højre. Negativ a betyder, at linjen går nedad.

Linjen her er y = 2x − 1. Den skærer y-aksen i −1 (så b = −1). Hver gang du går 1 til højre, går den 2 op (så a = 2).

Eksempel: regn y ud fra x

Linjen y = 2x − 1. Hvad er y, når x = 3? Sæt 3 ind i stedet for x:

Sæt x = 3 ind:y = 2 · 3 − 1 Regn ud (gange før minus):y = 5

Punktet (3, 5) ligger altså på linjen. Det er markeret på tegningen ovenfor.

Eksempel: aflæs a og b fra en tegning

  1. Find der, hvor linjen krydser y-aksen. Det tal er b.
  2. Gå 1 til højre fra det punkt. Tæl, hvor mange op (eller ned) linjen er kommet. Det tal er a.

Her krydser linjen y-aksen i 3, så b = 3. Går du 1 til højre, falder linjen 1, så a = −1. Ligningen er y = −x + 3 (−1x skrives bare −x).

Eksempel: find x, når du kender y

Det er en ligning! Linjen y = 2x − 1. Hvilket x giver y = 9?

Sæt y = 9 ind:9 = 2x − 1 Læg 1 til på begge sider:10 = 2x Divider med 2 på begge sider:x = 5

Tjek: 2 · 5 − 1 = 9. Det passer. Hvis du har glemt, hvordan man løser ligninger, så kig på ligningssiden.

Huskeliste

  • (x, y): x til siden, y op/ned. Start i origo.
  • y = ax + b: b er skæring med y-aksen, a er hældningen (op pr. 1 til højre).
  • Kender du x? Sæt det ind, og regn y ud.
  • Kender du y? Sæt det ind, og løs ligningen for x.