Matematik

Sandsynlighed

Hvor stor er chancen for en 6'er, for regn i morgen eller for at vinde i lotto? Sandsynlighed er et tal mellem 0 og 1, og det bygger på én brøk.

Hvad er sandsynlighed?

Sandsynlighed er et tal, der fortæller, hvor sandsynligt noget er. Tallet ligger altid mellem 0 og 1: 0 betyder "sker aldrig", 1 betyder "sker helt sikkert", og 0,5 betyder "fifty-fifty".

Du kaster en terning. Chancen for en 6'er er 16: der er 6 sider, og én af dem er en 6'er. Det samme tal kan skrives på tre måder, og alle tre er rigtige:

Som brøk:16 Som decimaltal (regn 1 : 6):≈ 0,17 Som procent (gang med 100):≈ 16,7 %

Sandsynlighed forkortes ofte P (fra engelsk probability). P(6'er) = 1/6 læses "sandsynligheden for en 6'er er en sjettedel".

Gunstige og mulige udfald

Et udfald er det, der kan ske: en terning har 6 mulige udfald (1, 2, 3, 4, 5, 6). De udfald, du håber på, hedder gunstige udfald. Så sandsynlighed er bare "hvor mange af de mulige udfald er gunstige?".

Ting, du tit møder i opgaver:

Terning: 6 udfald, alle lige sandsynlige.
Mønt: 2 udfald, plat eller krone. P(krone) = 1/2.
Kortspil: 52 kort. 4 kulører (hjerter ♥ og ruder ♦ er røde, spar ♠ og klør ♣ er sorte) med 13 kort i hver: 2–10, knægt, dame, konge og es. Billedkort er knægt, dame og konge (12 i alt).
Kugler i en pose: fx 3 røde og 5 blå. Du trækker én uden at kigge: P(rød) = 3/8.

Den gyldne regel:
P = gunstige udfald : mulige udfald
Tæl dem, du håber på. Divider med dem, der i alt kan ske.

Flere gunstige udfald

Hvad er sandsynligheden for at slå et lige tal med en terning?

Mulige udfald:1, 2, 3, 4, 5, 6 → 6 Gunstige udfald (de lige tal):2, 4, 6 → 3 P(lige tal):36 = 12 = 0,5 = 50 %

Trækker du ét kort: P(rødt kort) = 26/52 = 1/2. P(konge) = 4/52 = 1/13. P(hjerter) = 13/52 = 1/4.

Fælden: at dividere med de ugunstige udfald i stedet for med alle. 3 røde og 5 blå kugler giver P(rød) = 3/8, ikke 3/5. Der er 8 kugler i posen.

"Ikke": den modsatte hændelse

Enten sker noget, eller også sker det ikke. Tilsammen er de to sandsynligheder altid 1 (100 %). Så sandsynligheden for, at noget ikke sker, er 1 minus sandsynligheden for, at det sker.

P(6'er):16 P(ikke 6'er) = 1 − 1/6:56 ≈ 83 % Regn i morgen: 30 %. Tørvejr:100 % − 30 % = 70 %

Du kan også tælle direkte: 5 af terningens 6 sider er ikke en 6'er. Begge veje giver 5/6.

To ting efter hinanden: tælletræ og "og"-reglen

Du slår med en mønt to gange. Hvad er sandsynligheden for krone begge gange? Tegn et tælletræ: først de to udfald af første kast, og fra hver af dem de to udfald af andet kast.

Der er 4 lige sandsynlige udfald (KK, KP, PK, PP), og ét af dem er krone-krone. Så P(krone og krone) = 1/4.

Hurtigere: når to ting er uafhængige (den ene påvirker ikke den anden), så ganger du sandsynlighederne.

Krone og krone:12 · 12 = 14 Krone på mønten og 6'er på terningen:12 · 16 = 112 To 6'ere med to terninger:16 · 16 = 136

Fælden: at lægge sammen. 1/2 + 1/2 = 1 ville betyde, at to kroner i træk er helt sikkert. Det er det tydeligvis ikke. "Og" betyder gange.

Hvor mange muligheder er der?

Du har 3 trøjer og 2 par bukser. Hvor mange forskellige sæt tøj kan du lave? Til hver trøje kan du vælge 2 bukser: 3 · 2 = 6 sæt. Det hedder kombinatorik, og reglen er den samme som før: gang antallet af muligheder i hvert trin.

3 trøjer · 2 bukser · 2 par sko:3 · 2 · 2 = 12 sæt Pinkode med 4 cifre (10 muligheder pr. ciffer):10 · 10 · 10 · 10 = 10.000 koder To terninger:6 · 6 = 36 udfald

Derfor er P(to 6'ere) = 1/36: ét gunstigt udfald ud af 36 mulige. Antal muligheder og sandsynlighed hænger sammen.

Eksperiment eller teori?

Det, vi har regnet indtil nu, er teoretisk sandsynlighed: hvad der burde ske. Hvis du faktisk kaster en terning 60 gange, får du ikke præcis 10 seksere. Måske 8, måske 13. Det, du måler, hedder frekvensen:

Frekvens = antal gange det skete : antal forsøg:13 : 60 ≈ 0,22 I procent:≈ 22 % Teoretisk var det:1/6 ≈ 16,7 %

Jo flere gange du prøver, jo tættere kommer frekvensen på den teoretiske sandsynlighed. Det kaldes de store tals lov. Nogle gange findes der ingen teori (hvordan lander en tegnestift?), og så er frekvensen det eneste, vi har.

Forventet antal: teoretisk sandsynlighed · antal forsøg. 60 kast · 1/6 = 10 seksere.

Huskeliste

P = gunstige : mulige. Altid divider med alle de mulige udfald.
Mellem 0 og 1. Brøk, decimaltal og procent er tre måder at skrive det samme på.
"Ikke": 1 − P.
"Og" (uafhængige ting efter hinanden): gang.
Antal muligheder: gang antallet i hvert trin (3 trøjer · 2 bukser = 6).
Frekvens: antal gange : antal forsøg. Nærmer sig teorien, når man prøver mange gange.
Kortspil: 52 kort, 4 kulører à 13, 26 røde, 12 billedkort, 4 af hver værdi.