Matematik

Talfølger og mønstre

4, 7, 10, 13 … hvad kommer så? Her lærer du at finde reglen bag en række tal eller figurer og at skrive den som en formel.

Hvad er en talfølge?

En talfølge er en række tal, der følger en regel. Hvert tal hedder et led, og leddene har numre: led nummer 1, led nummer 2 og så videre. Nummeret kalder vi n, og leddet skriver vi som a_n.

n (nummer)	1	2	3	4	5
a_n (led)	4	7	10	13	16

Her er a₁ = 4, a₂ = 7 og a₅ = 16. Opgaven er næsten altid den samme: find reglen, og brug den til at finde et led, man ikke kan se.

Find reglen: kig på forskellen

Det første, du gør, er at trække naboled fra hinanden. Giver det det samme tal hver gang, lægges der det samme til hver gang:

4+37+310+313+316

Forskellen hedder d. Her er d = 3, og det næste led er 16 + 3 = 19. En følge med fast forskel hedder aritmetisk. Forskellen kan også være negativ: 20, 17, 14, 11 har d = −3.

Den gyldne regel:
Find forskellen mellem naboled først. Er den den samme hver gang, har du reglen. Er den ikke, så prøv at dividere naboled, eller se, om forskellen selv følger et mønster.

Når forskellen ikke er fast: kig på forholdet

3·26·212·224·248

Forskellen er 3, 6, 12, 24, altså ikke fast. Men hvert led er det foregående gange 2. En følge, hvor man ganger med det samme tal hver gang, hedder geometrisk. Fordobling (·2) og halvering (:2) er de mest almindelige.

Nogle følger skal du bare kende:

Kvadrattallene: 1, 4, 9, 16, 25, 36 … (1·1, 2·2, 3·3 …, altså n²). Forskellene er 3, 5, 7, 9: de ulige tal.
Trekanttallene: 1, 3, 6, 10, 15, 21 … (læg 2 til, så 3, så 4 …). Det er antallet af kegler i en trekant.
Fordobling: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 … (2ⁿ).

Led nummer 10, uden at skrive alle op

Følgen 5, 8, 11, 14 … har d = 3. Hvad er led nummer 10? Fra led 1 til led 10 skal du lægge forskellen til 9 gange, ikke 10 (tæl springene, ikke leddene):

Forskellen:d = 8 − 5 = 3 Antal spring fra led 1 til led 10:10 − 1 = 9 Læg til det første led:a₁₀ = 5 + 9 · 3 = 32

Den klassiske fejl er at regne 5 + 10 · 3 = 35. Tjek med små tal: led 2 er 5 + 1 · 3 = 8, ikke 5 + 2 · 3. Altid ét spring mindre end nummeret.

En formel for led nummer n

Endnu bedre er en formel, hvor du kan sætte et hvilket som helst n ind. For en aritmetisk følge er den altid a_n = d · n + c. Tag 4, 7, 10, 13 …:

Forskellen er 3, så formlen starter med 3n (3-tabellen):3n giver 3, 6, 9, 12 Vores følge ligger 1 over 3-tabellen (4 − 3 = 1):a_n = 3n + 1 Tjek ved at sætte n = 1, 2, 3 ind:3 · 1 + 1 = 4, 3 · 2 + 1 = 7, 3 · 3 + 1 = 10 ✓

Tallet c finder du altså som første led minus d. Med formlen er led nummer 100 bare 3 · 100 + 1 = 301.

Figurfølger

Mønstre af tændstikker eller prikker er talfølger i forklædning. Tæl, hvor mange prikker der er i figur 1, 2 og 3, og find forskellen:

figur n	1	2	3	4	n
prikker	3	5	7	9	2n + 1

Der kommer 2 prikker til hver gang (én på hver arm), og figur 1 ligger 1 over 2-tabellen. Formlen er 2n + 1, så figur 10 har 2 · 10 + 1 = 21 prikker. Du kan også se det direkte på figuren: to arme med n prikker hver, plus hjørnet.

Huskeliste

Først: find forskellen mellem naboled.
Fast forskel d: aritmetisk følge, a_n = d · n + c, hvor c = a₁ − d.
Fast faktor: geometrisk følge (gang med det samme tal hver gang).
Led nummer n: a₁ + (n − 1) · d. Ét spring mindre end nummeret.
Tjek formlen: sæt n = 1, 2, 3 ind, og se, om det passer.
Kend: kvadrattal 1, 4, 9, 16, 25 og trekanttal 1, 3, 6, 10, 15.