Matematik

Trigonometri

Pythagoras finder en side, når du kender to sider. Trigonometri finder sider og vinkler, når du kender én side og én vinkel. Tre knapper på lommeregneren: sin, cos og tan.

Modstående, hosliggende og hypotenuse

I en retvinklet trekant vælger vi en af de spidse vinkler og kalder den v. Set fra v har de tre sider navne:

Hypotenusen: den lange side over for den rette vinkel. Altid den samme.
Modstående katete: siden over for v. Den rører ikke v.
Hosliggende katete: siden ved siden af v (den der ikke er hypotenusen).

Vælger du den anden spidse vinkel, bytter modstående og hosliggende plads. Det er derfor, man altid skal spørge: "set fra hvilken vinkel?"

De tre formler:

sin(v)= modståendehypotenuse cos(v)= hosliggendehypotenuse tan(v)= modståendehosliggende

Huskeregel: sin = mod/hyp, cos = hos/hyp, tan = mod/hos. Vælg den formel, der indeholder de to sider, du har eller leder efter.

Hvad betyder sin(30°) = 0,5?

Det betyder, at i enhver retvinklet trekant med en vinkel på 30°, er den modstående side præcis halvdelen af hypotenusen. Uanset trekantens størrelse. Lommeregneren kender tallet for alle vinkler, så du slipper for at måle.

Tjek din lommeregner: den skal stå i grader (DEG), ikke radianer (RAD). Tast sin(30) og se, om du får 0,5.

Find en side

Hypotenusen er 10, og v = 35°. Hvor lang er den modstående side?

Vi har hyp og leder efter mod → sin:sin(35°) = mod / 10 Gang med 10 på begge sider (det er en ligning):mod = 10 · sin(35°) Lommeregner:mod = 10 · 0,574 ≈ 5,74

Samme fremgangsmåde med cos (når du har hyp og hos) og tan (når du har mod og hos).

Find hypotenusen (siden står under brøkstregen)

Modstående er 4, og v = 40°. Hypotenusen?

sin(40°) = 4 / hyp. Gang med hyp:hyp · sin(40°) = 4 Divider med sin(40°):hyp = 4 / sin(40°) Lommeregner:hyp = 4 / 0,643 ≈ 6,22

Tjek: hypotenusen skal være større end 4. Det er den.

Find en vinkel: den omvendte knap

Kender du to sider, kan du finde vinklen. Regn brøken ud, og brug den omvendte funktion: sin⁻¹, cos⁻¹ eller tan⁻¹ (på lommeregneren tit "2nd" eller "shift" + sin).

Modstående er 3, hosliggende er 5. Find v.

Mod og hos → tan:tan(v) = 3 / 5 = 0,6 Omvendt tan:v = tan⁻¹(0,6) ≈ 31,0°

I virkeligheden

Du står 20 m fra et træ og kigger op mod toppen i en vinkel på 30°. Hvor højt er træet (over øjenhøjde)?

Afstanden er hosliggende, højden er modstående → tan:tan(30°) = h / 20 h = 20 · tan(30°):h ≈ 20 · 0,577 ≈ 11,5 m

Huskeliste

Set fra v: mod er over for, hos er ved siden af, hyp er den lange.
sin = mod/hyp, cos = hos/hyp, tan = mod/hos. Vælg formlen med de to sider, du har brug for.
Ukendt i tælleren: gang. Ukendt i nævneren: divider.
Find vinkel: brøk først, så sin⁻¹/cos⁻¹/tan⁻¹.
Lommeregner i grader (DEG).