Matematik

Uligheder

"Mindst 90 kr.", "højst 3 personer", "under 18 år". En ulighed er en ligning, hvor svaret ikke er ét tal, men et helt område. Du løser den næsten på samme måde, med én vigtig undtagelse.

De fire tegn

En ligning har et lighedstegn (=). En ulighed har et af disse fire tegn i stedet:

<mindre end. 3 < 5. "x < 18" betyder: x er under 18. >større end. 5 > 3. "x > 0" betyder: x er over 0. ≤mindre end eller lig med, altså højst. "x ≤ 3" betyder: x kan være 3 eller mindre. ≥større end eller lig med, altså mindst. "x ≥ 90" betyder: x er 90 eller mere.

Huskeregel: tegnets åbne, store side vender mod det største tal. Krokodillen spiser altid det største. Stregen under tegnet betyder "eller lig med".

Hvad betyder x > 3?

Ligningen x = 3 har én løsning. Uligheden x > 3 har uendeligt mange: 3,5 og 4 og 100 er alle løsninger. Men 3 er ikke en løsning (3 er ikke større end 3), og 2 er heller ikke.

Man tegner løsningen på en tallinje. En åben prik betyder, at tallet selv ikke er med (< og >). En lukket prik betyder, at tallet er med (≤ og ≥).

Hverdagssprog oversat til uligheder:

"Du skal have mindst 90 kr.":x ≥ 90 "Der må højst være 3 personer":x ≤ 3 "Man skal være under 18 år":x < 18 "Mere end 200 km":x > 200

Den gyldne regel:
Løs uligheden præcis som en ligning: gør det samme på begge sider. Men ganger eller dividerer du med et negativt tal, så vend tegnet.

Løs x + 5 > 9

Du vil have x alene på den ene side, ligesom i en ligning.

Træk 5 fra på begge sider:x + 5 − 5 > 9 − 5 Løsning:x > 4

Alle tal over 4 er løsninger. Tjek med ét af dem: x = 10 giver 10 + 5 = 15, og 15 > 9. Rigtigt.

Løs 3x − 4 ≤ 11

Læg 4 til på begge sider:3x ≤ 15 Divider med 3 på begge sider (3 er positivt, så tegnet bliver):x ≤ 5

Tjek: x = 5 giver 3 · 5 − 4 = 11, og 11 ≤ 11 er sandt (lig med er tilladt). x = 0 giver −4 ≤ 11, også sandt. x = 6 giver 14 ≤ 11, falsk. Passer.

Den vigtige undtagelse: negativt tal vender tegnet

Hvorfor? Se på 2 < 5. Det er sandt. Gang begge sider med −1: −2 og −5. Men −2 er større end −5 (det ligger længere til højre på tallinjen). Så uligheden er nu −2 > −5. Tegnet vendte.

Løs −2x + 3 < 11:

Træk 3 fra på begge sider:−2x < 8 Divider med −2. Negativt tal: VEND tegnet:x > −4

Tjek med x = 0 (som er større end −4): −2 · 0 + 3 = 3, og 3 < 11. Sandt. Havde du glemt at vende tegnet, stod der x < −4, og så ville x = −10 skulle passe: −2 · (−10) + 3 = 23, og 23 < 11 er falsk.

Den fejl, næsten alle laver: at dividere med −2 og beholde tegnet. Det er kun ved gange og division med negative tal, tegnet vender. At lægge til eller trække fra et negativt tal gør ingenting ved tegnet.

Tjek altid med et tal

Det er nemt at tjekke en ulighed: vælg et tal, der ligger inden for din løsning, og sæt det ind i den oprindelige ulighed. Passer det, er du sikkert på rette spor. Vælg gerne et nemt tal som 0 eller 10.

I virkeligheden

Billetter koster 45 kr. Du har 300 kr. Hvor mange kan du højst købe?

Prisen må højst være 300:45 · x ≤ 300 Divider med 45:x ≤ 6,67 Du kan ikke købe 0,67 billet, så rund ned:højst 6 billetter

Pas på med afrundingen: "højst" betyder, at du runder ned. "Mindst" (fx hvor mange uger skal du mindst spare op) betyder, at du runder op.

Huskeliste

< mindre end, > større end, ≤ højst, ≥ mindst. Den åbne side vender mod det største.
Løs som en ligning: gør det samme på begge sider, få x alene.
Gang/divider med negativt tal: vend tegnet. Plus og minus ændrer ikke tegnet.
Tallinje: åben prik ved < og >, lukket prik ved ≤ og ≥.
Tjek med et tal, der ligger inden for løsningen.
Hele ting: "højst" runder ned, "mindst" runder op.