Matematik

Lineære funktioner

Pris pr. kilo, løn pr. time, renter på kontoen. En funktion er en regel, der laver et x om til et y. Her lærer du at tegne den, finde den og bruge den.

En funktion er en maskine

Du putter et tal ind (x), maskinen regner, og der kommer et tal ud (y). Reglen for, hvad maskinen gør, hedder en funktion. Den vigtigste slags er den lineære funktion, fordi dens graf er en lige linje:

y = ax + b

a er hældningen: hvor meget y stiger, hver gang x bliver 1 større. Negativ a betyder, at linjen går nedad.
b er startværdien: det y er, når x = 0. Der skærer linjen y-aksen.

Eksempel: en taxa koster 40 kr. i startgebyr og 12 kr. pr. km. Så er prisen y = 12x + 40, hvor x er antal km. Startværdien er 40, hældningen er 12. Har du glemt, hvordan koordinatsystemet virker, så tag først koordinatsystemet.

Proportionalitet: y = ax

Koster 1 kg æbler 15 kr., koster 2 kg 30 kr. og 4 kg 60 kr. Dobbelt så meget koster dobbelt så meget. Det hedder, at pris og vægt er proportionale. Funktionen er y = 15x, altså en lineær funktion uden b (b = 0).

x (kg)	1	2	3	4	5
y (kr.)	15	30	45	60	75

Grafen går altid gennem origo (0 kg koster 0 kr.). Tjek: y : x giver det samme tal hver gang (30 : 2 = 15, 60 : 4 = 15). Det tal er a. Kender du prisen for 3 kg, så find først prisen for 1 kg, og gang op.

Den gyldne regel:
a er hældningen: så meget går y op pr. 1 til højre. b er startværdien: y, når x = 0.

Omvendt proportionalitet: y = k : x

Fire venner deler 600 kr. ligeligt og får 150 kr. hver. Er de seks, får de 100 kr. hver. Jo flere der deler, jo mindre til hver. Det hedder omvendt proportionalitet: antal · beløb giver altid det samme tal, k = 600.

x (personer)	1	2	3	4	6
y (kr. til hver)	600	300	200	150	100

Find det faste tal k (gang antal og beløb):k = 4 · 150 = 600 Del med det nye antal:600 : 6 = 100 kr.

Grafen er ikke en lige linje; den bøjer og går aldrig ned til nul. Samme idé: 4 malere bruger 6 dage på et hus (24 malerdage). 3 malere bruger så 24 : 3 = 8 dage.

Tegn en linje ud fra ligningen

To punkter er nok til at tegne en lige linje. Vælg to nemme x-værdier, regn y ud, afsæt punkterne, og træk en lineal igennem. Tegn y = 2x − 3:

x = 0 (startværdien):y = 2 · 0 − 3 = −3 → (0, −3) x = 2:y = 2 · 2 − 3 = 1 → (2, 1) Tjek med et tredje punkt, x = 4:y = 5 → (4, 5) ligger også på linjen

Find ligningen ud fra to punkter

Linjen går gennem (1, 1) og (3, 5). Først a, så b.

a er "op : hen". Hvor meget ændrer y sig, og hvor meget x?a = Δy : Δx = (5 − 1) : (3 − 1) = 4 : 2 = 2 Sæt a og ét af punkterne ind i y = ax + b:1 = 2 · 1 + b Løs for b:b = 1 − 2 = −1 Ligningen:y = 2x − 1

Δ (delta) betyder bare "ændring i". Klassisk fejl: at bytte om, så man regner Δx : Δy. Husk: y-forskel øverst, x-forskel nederst, og træk i samme rækkefølge begge steder.

To ligninger med to ubekendte

Hvor skærer linjerne y = 2x − 1 og y = −x + 5 hinanden? I skæringspunktet passer begge ligninger. Du kan finde det på to måder.

Grafisk: tegn begge linjer, og aflæs krydset. Her er det (2, 3).

Ved indsættelse: y er den samme i begge ligninger, så sæt de to udtryk lig hinanden, og løs ligningen:

Sæt udtrykkene lig hinanden:2x − 1 = −x + 5 Læg x til på begge sider:3x − 1 = 5 Læg 1 til på begge sider:3x = 6 Divider med 3:x = 2 Sæt x = 2 ind i en af ligningerne:y = 2 · 2 − 1 = 3, så skæringspunktet er (2, 3)

Tjek i den anden ligning: −2 + 5 = 3. Det passer. Ligningsregler kan du genopfriske på ligningssiden.

Eksponentiel vækst: gang med det samme tal hver gang

Lineær vækst lægger det samme tal til hver gang (+12 kr. pr. km). Eksponentiel vækst ganger med det samme tal hver gang. Det sker med renter: 1.000 kr. står til 3 % om året. Hvert år ganges beløbet med 1,03 (100 % + 3 %):

år	0	1	2	3
kr.	1.000	1.030	1.060,90	1.092,73

Fremskrivningsfaktor:100 % + 3 % = 1,03 Efter 2 år (gang to gange):1.000 · 1,03 · 1,03 = 1.000 · 1,03² = 1.060,90 kr.

Generelt: y = b · a^x, hvor b er startbeløbet, a er faktoren og x er antal år. År 2 giver 30,90 kr. i rente og ikke 30, fordi du også får rente af sidste års rente. Det hedder renters rente. Samme regel for en bakteriekultur, der fordobles hver time: 50 · 2⁴ = 800 efter 4 timer. Faktorer kan du øve på procentsiden.

Huskeliste

y = ax + b: a er hældningen (op pr. 1 til højre), b er startværdien (x = 0).
Proportional (y = ax): gennem origo. Find prisen for 1, og gang op.
Omvendt proportional (y = k : x): antal · beløb er altid k. Del k med det nye antal.
Tegn: regn y for to x-værdier, afsæt, og træk linjen.
To punkter → ligning: a = Δy : Δx, derefter sæt et punkt ind og find b.
Skæringspunkt: sæt de to udtryk lig hinanden, løs for x, og find y.
Eksponentiel: y = b · a^x. Gang med faktoren én gang pr. år.