Ligninger: "det samme på begge sider" er hele hemmeligheden
Gør det samme på begge sider, og ligninger holder op med at være gætteri. Her er metoden, tre eksempler fra let til sværere og de fejl, man oftest laver.
Billedet: en vægt i balance
Et lighedstegn betyder, at de to sider vejer lige meget. Tænk på en vægt i balance: x og 3 lodder på den ene skål, 10 lodder på den anden. Tager man 3 lodder fra den ene skål, skal man også tage 3 fra den anden, ellers vipper vægten. Så står x alene til venstre og 7 til højre, og så er x = 7.
Det er hele hemmeligheden: det, du gør på den ene side, skal du også gøre på den anden. Alt andet i ligninger er variationer over det.
Målet: få x til at stå alene
Man rydder op omkring x ved at gøre det modsatte af det, der står:
- Står der + 5, så træk 5 fra på begge sider.
- Står der − 5, så læg 5 til på begge sider.
- Står der 3x (3 gange x), så divider med 3 på begge sider.
- Står der x : 3, så gang med 3 på begge sider.
Rækkefølgen er: parentes, saml x'erne, plus og minus, til sidst gange og dividere. Se også ligninger.
Eksempel 1: plus og minus
Der står − 4. Læg 4 til på begge sider:
x − 4 + 4 = 9 + 4
x = 13
Tjek: 13 − 4 = 9. Det passer.
Eksempel 2: to trin
Fjern plus først. Træk 7 fra på begge sider: 2x = 12
Divider med 2 på begge sider: x = 6
Tjek: 2 · 6 + 7 = 12 + 7 = 19. Det passer.
Eksempel 3: parentes og x på begge sider
Her er niveauet, man kan møde til FP9. Der er to nye ting på spil: en parentes, og x på begge sider. En parentes med et tal foran skal ganges ind på alle led i parentesen (se bogstavregning). Står der x på begge sider, samles x'erne først.
Gang 3 ind i parentesen (3 · x og 3 · 2): 3x − 6 = 5x − 14
Træk 3x fra på begge sider (det mindste antal x'er): −6 = 2x − 14
Læg 14 til på begge sider: 8 = 2x
Divider med 2 på begge sider: 4 = x, altså x = 4
Tjek: 3 · (4 − 2) = 3 · 2 = 6 og 5 · 4 − 14 = 20 − 14 = 6. Begge sider giver 6.
At x står til højre, er ikke en fejl. 4 = x og x = 4 er det samme.
Tjek altid ved at sætte ind
Skriv dit svar ind i stedet for x i den oprindelige ligning, og se, om begge sider giver det samme. Det tager ti sekunder og fanger de fleste fejl.
De klassiske fejl
1. Flytte uden at skifte fortegn. Man siger tit "flyt over og skift fortegn", men tankegangen er at gøre det samme på begge sider. Glemmer man det, går det galt:
Forkert: 5x − 2x = 9 − 3 giver 3x = 6, altså x = 2.
Tjek: 5 · 2 − 3 = 7, men 2 · 2 + 9 = 13. Det passer ikke.
Rigtigt: 5x − 2x = 9 + 3 giver 3x = 12, altså x = 4.
Tjek: 5 · 4 − 3 = 17 og 2 · 4 + 9 = 17. Det passer.
2. Dividere kun den ene side, eller kun det ene led. Hele siden skal divideres, ikke bare x-leddet.
Forkert: x + 6 = 18 (kun 3x blev divideret med 3) giver x = 12.
Tjek: 3 · 12 + 6 = 42, ikke 18.
Rigtigt: træk først 6 fra: 3x = 12. Divider så med 3: x = 4.
Tjek: 3 · 4 + 6 = 18. Det passer.
3. Glemme at gange ind i hele parentesen. 3(x − 2) er 3x − 6, ikke 3x − 2.
4. Regne forkert med minus. Fortegnet foran et led hører til leddet. Står der − 6 og skal man flytte det, lægger man 6 til.
Næste skridt: uligheder
Når ligninger sidder fast, er uligheder et lille skridt videre. De løses på samme måde, bortset fra en enkelt ting: ganger eller dividerer man med et negativt tal, vender tegnet.
Når forældre hjælper
Hjælper du et barn med ligninger, så bed det fortælle, hvad der sker på vægten, i stedet for at vise, hvordan man gør. "Hvad gør du ved højre side?" er et bedre spørgsmål end "Husk nu at skifte fortegn".
Prøv det på Øverum
- Ligninger: vægt-billedet, fem eksempler og opgaver i flere niveauer.
- Bogstavregning: samle led og gange ind i parentes.
- Uligheder: samme metode, med ét ekstra trick.
Ofte stillede spørgsmål
Hvad er en ligning?
En ligning er et regnestykke med et lighedstegn og et ukendt tal, som vi kalder x. Opgaven er at finde ud af, hvilket tal x er.
Hvorfor skal man gøre det samme på begge sider?
Fordi lighedstegnet betyder, at de to sider er lige store, ligesom en vægt i balance. Ændrer man kun den ene side, er vægten ikke længere i balance, og ligningen passer ikke længere.
Hvordan ved jeg, at jeg har regnet rigtigt?
Sæt dit svar ind i stedet for x i den oprindelige ligning. Giver begge sider det samme, passer det.